جميعُنا يعلم أنّ العدد الأوليّ هو كلُّ عددٍ طبيعيّ يقبل القسمة على نفسه وعلى العدد 1 فقط. ولكن هل تساءَلت يوماً كم عدد هذه الأعداد الأوّليّة ؟
الأمثلة القليلة الأولى عن الأعداد الأوّليّة هي 2، 3، 5، 7، 11 .... إلخ. والخبرُ الجيّدُ أنّ هذه الأعداد تستمرُّ إلى مالانهاية، فبغضِّ النّظر عن المقدار الّذي تتابع فيه إلى الإمام على مستقيم الأعداد سوف تصادف دوماً عدداً أوّليّاً بانتظارك.
حقيقة أنّ هناك عددٌ غيرُ منتهٍ من الأعداد الأوّليّة معروفةٌ اليوم وكانت معروفةٌ لدى الإغريق القدماء أيضاً .وسنورد هنا برهاناً على ذلك منسوباً إلى الرّياضيّ اليونانيّ الأكثر شهرةً بين أقرانه "إقليدس" ( على الرّغم من أنّه لم يستخدم نفس الطّريقة والمفاهيم الّتي نستخدها اليوم).

افترض إقليدس في بداية برهانه أنّ هناك مجموعةً منتهيّةً من الأعداد الأوّليّة وسمّاها ، ثمّ عرّف العدد P بالعلاقة:



على سبيل المثال: إذا كان هناك فقط خمسُ أعدادٍ أوليّةٍ: ، سينتج أنّ العدد P يساوي 2311 كما يلي:



كان لدى إقليدس هنا احتمالان:
- P نفسه عددٌ أوّليٌّ ( كما هو الحال في مثالنا السّابق)، ومن الواضح في هذه الحالة أنّه لن يكون واحداً من الأعداد الأوليّة الّتي تنتمي إلى القائمة Ω، وذلك لأنّه حتماً أكبر من كلِّ الأعداد الواردة فيها.
- P عدد غير أوّليّ ، بالتّالي هو ككلّ الأعداد الطّبيعيّة يمكن أن يُكتَب على شكل جداءٍ لأعدادٍ أوّليّةٍ. في هذه المرحلة اختار إقليدس واحداً من الأعداد الأوّليّة الّتي تقسم العدد P وليكن q. ثم قال q ليس واحد من أي من أعداد القائمة Ω ، لأنّه لو كان كذلك سيكون قاسماً للعدد :



أي أنّهُ قاسمٌ للعدد 1، ولكنّ العدد 1 لايقبل القسمة على أيّ عددٍ طبيعيٍّ . لذلك فإنّ مجموعة الأعدادِ الأوّليّةِ Ω لايمكن أن تحوي العدد الأوليّ q. هذا التّناقض يعني أنّ مجموعة الأعداد الأوليّة Ω هي مجموعةٌ غيرُ منتهيةٍ.

المصدر:
هنا