هل يمكن رفع عدد لأُس مصفوفة
الرياضيات >>>> رياضيات في دقيقة
Image: SYR-RES
، فما الذي قد يعنيه أن ترفع عدد حقيقيًا لأس مصفوفة، بالتحديد eAt حيث e هو العدد النيبري -ثابت أويلر (Euler's number)- وA مصفوفة مدخلاتها أعداد حقيقية؟
حل المعادلة التفاضلية هو
، حيث k وc عددان حقيقيَّان.
لذلك، من الطبيعي أن نتساءل عن إمكانية حل نظام من المعادلات التفاضلية -حيث A مصفوفة رتبتها nn، و X متجه عمودي (column vector) من المتغيرات- بنفس الطريقة؛ أي أن يكون الحل
(1).
لكن علينا أن نعطي معنى لهذه المصفوفة الأسية. يمكننا تمثيل الاقتران الأسي eat باستخدام متسلسلة القوى (power series) الآتية:
وهي متسلسلة تتقارب (converges) لكل t، لنستبدل العدد a بالمصفوفة المربعة A، والواحد بالمصفوفة المحايدة I ذات الرتبة ،nn أي كل مدخلاتها ما عدا القطر الرئيسي أصفار (2):
وكل حد هو مصفوفة مربعة رتبتها nn، حيث: ، n من المرات معرفة باستخدام ضرب المصفوفات (1).
باشتقاق حدود هذه المتسلسلة حدًّا حدًّا (نظرًا لطبيعة التقارب) (2):
إذًا eAt تحقق المعادلة التفاضلية ، حيث
(2).
وإذا كانت المصفوفة قطرية، تكون المصفوفة الأسية لها (1,2):
بالإضافة إلى حل أنظمة من المعادلات التفاضلية، تستخدم المصفوفات الأسية مثلًا في دراسة الشبكات؛ الشبكات هي نماذج لدراسة الأنظمة المتشابكة سواءً في الطبيعة أو في الشبكات التكنولوجية من صنع الإنسان. ويمكن نمذجة هذه الشبكات بشكل مجرد باستخدام المخططات؛ وهي رسومات تتكون من رؤوس أو عُقَد (vertices) وحواف (edges). أحد أهم الأسئلة في دراسة هذه الشبكات هو كيفية تحديد العقدة الأكثر أهمية، مثلًا البروتين الأساسي في شبكة التفاعلات البروتينية في الخلية، أو الأنواع الرئيسية في الشبكات البيئية والحيوية، الكاتب الأكثر تأثيرًا في شبكات التعاون العلمي، وغيرها كثير. وتسمى القياسات الحسابية لأهمية العقد بـ"قياسات المركزية" (centrality measures)(3). تستخدم المصفوفات الأسية في دراسة هذه القياسات.
وتستخدم أيضًا في تحويل النظم الديناميكية المعتمدة على فترات زمنية متصلة إلى أخرى معتمدة على فترات زمنية متقطعة (4).
إعداد: Aseel Kmail
المصادر:
هنا
2. BOYCE WE, DIPRIMA RC, Meade DP. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. 11th ed. USA: John Wiley & Sons, Inc; 2017. P332-334. Available from:هنا
3. Benzi M, Klymko C. On the Limiting Behavior of Parameter-Dependent Network Centrality Measures. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2015;36(2):686–706. Available from: هنا
4. Higham N. What Is the Matrix Exponential? [internet] 2020 May 13[cited 2022 Jun 30]. Available from: هنا
