سنعيد كتابة العلم بأبجدية عربية

  • الرئيسية
  • الفئات
  • الباحثون السوريون TV
  • من نحن
  • اتصل بنا
  • About Us
x
جارِ تحميل الفئات

هل يمكن رفع عدد لأُس مصفوفة

الرياضيات >>>> رياضيات في دقيقة


تم حفظ حجم الخط المختار

Image: SYR-RES

تعلمنا في المدرسة ما الذي يعنيه أن ترفع عدد حقيقيًّا لقوة -أس- عدد من الأعداد النسبية، أي ، فما الذي قد يعنيه أن ترفع عدد حقيقيًا لأس مصفوفة، بالتحديد eAt حيث e هو العدد النيبري -ثابت أويلر (Euler's number)- وA مصفوفة مدخلاتها أعداد حقيقية؟

حل المعادلة التفاضلية  هو ، حيث k وc عددان حقيقيَّان.

لذلك، من الطبيعي أن نتساءل عن إمكانية حل نظام من المعادلات التفاضلية  -حيث A مصفوفة رتبتها nn، و X متجه عمودي (column vector) من المتغيرات- بنفس الطريقة؛ أي أن يكون الحل  (1).

لكن علينا أن نعطي معنى لهذه المصفوفة الأسية. يمكننا تمثيل الاقتران الأسي eat باستخدام متسلسلة القوى (power series) الآتية: 

وهي متسلسلة تتقارب (converges) لكل t، لنستبدل العدد a بالمصفوفة المربعة A، والواحد بالمصفوفة المحايدة I ذات الرتبة  ،nn أي كل مدخلاتها ما عدا القطر الرئيسي أصفار (2): 


وكل حد هو مصفوفة مربعة رتبتها nn، حيث: ، n من المرات معرفة باستخدام ضرب المصفوفات (1).  

باشتقاق حدود هذه المتسلسلة حدًّا حدًّا (نظرًا لطبيعة التقارب) (2):


إذًا eAt تحقق المعادلة التفاضلية ، حيث (2).

وإذا كانت المصفوفة قطرية، تكون المصفوفة الأسية لها (1,2):  


بالإضافة إلى حل أنظمة من المعادلات التفاضلية، تستخدم المصفوفات الأسية مثلًا في دراسة الشبكات؛ الشبكات هي نماذج لدراسة الأنظمة المتشابكة سواءً في الطبيعة أو في الشبكات التكنولوجية من صنع الإنسان. ويمكن نمذجة هذه الشبكات بشكل مجرد باستخدام المخططات؛ وهي رسومات تتكون من رؤوس أو عُقَد (vertices) وحواف (edges). أحد أهم الأسئلة في دراسة هذه الشبكات هو كيفية تحديد العقدة الأكثر أهمية، مثلًا البروتين الأساسي في شبكة التفاعلات البروتينية في الخلية، أو الأنواع الرئيسية في الشبكات البيئية والحيوية، الكاتب الأكثر تأثيرًا في شبكات التعاون العلمي، وغيرها كثير. وتسمى القياسات الحسابية لأهمية العقد بـ"قياسات المركزية" (centrality measures)(3). تستخدم المصفوفات الأسية في دراسة هذه القياسات.

وتستخدم أيضًا في تحويل النظم الديناميكية المعتمدة على فترات زمنية متصلة إلى أخرى معتمدة على فترات زمنية متقطعة (4).

إعداد: Aseel Kmail

المصادر:
1. Williamson RE.  Introduction to differential equations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall; 1986. 443 p. Available from:
هنا
2. BOYCE WE, DIPRIMA RC, Meade DP. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. 11th ed. USA: John Wiley & Sons, Inc; 2017. P332-334. Available from:هنا
3. Benzi M, Klymko C. On the Limiting Behavior of Parameter-Dependent Network Centrality Measures. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2015;36(2):686–706. Available from: هنا
4. Higham N. What Is the Matrix Exponential? [internet] 2020 May 13[cited 2022 Jun 30]. Available from: هنا

مواضيع مرتبطة إضافية

المزيد >


شارك

تفاصيل

13-09-2022
243

المساهمون في الإعداد

إعداد: Member
تدقيق علمي: Naoufel Hatime
مراجعة علمية: Maissaa Markabi
تدقيق لغوي: عبد الرحمن عطية
تصميم الصورة: Enaam Afaghani
نشر: Rama AlWattar

تابعونا على تويتر


من أعد المقال؟

Member
Naoufel Hatime
Maissaa Markabi
عبد الرحمن عطية
Enaam Afaghani
Rama AlWattar

مواضيع مرتبطة

رياضيات انتشار الإشاعات

متسلسلة فورييه، حين يكون لجمال الأصوات سرّ رياضيّ!

إحتمالات جينيّة أنقذت حياتنا!

مفارقة عيد الميلاد

مجموعات الأعداد (الجزء الثاني)

نظرية الألعاب!

بعد ثلاثين عاماً من الجدل, الحساب المجالي يجد حلاً!

شريط موبيوس.. حين يجتمع السحر، الفن والرياضيات في شريط واحد

رياضيات في دقيقة

ألكسندر كروتنديك أينشتاين الرياضيات و مؤسس الهندسة الجبرية

شركاؤنا

روابط مهمة

  • الشركاء التعليميون
  • حقوق الملكية
  • أسئلة مكررة
  • ميثاق الشرف
  • سياسة الكوكيز
  • شركاؤنا
  • دليل الشراكة
جميع الحقوق محفوظة لمبادرة "الباحثون السوريون" - 2023