سنعيد كتابة العلم بأبجدية عربية

  • الرئيسية
  • الفئات
  • الباحثون السوريون TV
  • من نحن
  • اتصل بنا
  • About Us
x
جارِ تحميل الفئات

التعميم لمحة عن مبرهنة النهاية المركزية في الإحصاء

الرياضيات >>>> الرياضيات


تم حفظ حجم الخط المختار

Image: SYR-RES

المجتمع في الإحصاء هو مجموعة كل الأشياء أو الأشخاص أو الأحداث موضع الدراسة أو الاهتمام. لكن في الواقع، جمع بيانات المجتمع كاملًا قد يحتاج إلى مجهود كبير وتكلفة مرتفعة، أو قد يكون غير ممكن من الأساس. مثلًا، ليس من الممكن اختبار كفاية أطباء التخدير في العالم في إجراء عملية جراحية ما لمريض وهو يقظ (1). 

ولعمل استقراء أو استدلال إحصائي (Statistical inference) لخصائص المجتمع تُؤخذ عينة ذات حجمٍ كافٍ من المجتمع (1). وليصح هذا الاستدلال، ينبغي أن تكون العينة ممثلةً عن المجتمع كاملًا، ولكن من النادر للعينات العشوائية أن تكون ممثلةً عن المجتمع. لذلك لا يمكن التعميم من عينة عشوائية واحدة -ذات حجم معين- مباشرة على المجتمع ككل، بل يجب أن يبنى هذا التعميم على التوزيع الاحتمالي للأوساط الحسابية لكل العينات العشوائية الممكنة لهذا الحجم، أي ما يُسمى توزيع المعاينة (sampling distribution) (2).

 هذا التوزيع الاحتمالي -بتمثيله للأوساط الحسابية لكل العينات الممكنة- يُنبئنا إذا ما كان الوسط الحسابي للعينة التي سنستخدمها للتعميم على المجتمع راجعًا للصدفة المحضة، لأن احتمال الحصول عليه مرتفع، أم نتيجة نادرة، احتمال الحصول عليها منخفض، وبالتالي تمثل نتيجة مميزة وليست اعتيادية. من هنا يمكنك فهم أهمية توزيع المعاينة في اختبار الفرضيات الإحصائية (2). 

مثالًا لكل العينات العشوائية الممكنة وأوساطها الحسابية، لنأخذ عينة حجمها 2 مع إرجاع من المجتمع التالي {2، 3، 4، 5}. عدد العينات العشوائية ذات الحجم 2 الممكنة يساوي 4x4 أي 16، وبما أن كل العينات لها نفس احتمال الحدوث، فاحتمال الحصول على أحد هذه العينات . والجدول التالي يوضح كل عينة ممكنة ووسطها الحسابي واحتمالها (2):

Image: https://www.wiley.com/en-us/Statistics%2C+11th+Edition-p-9781119254515

لنأخذ الوسط الحسابي 2 مثلًا، يمكن الحصول على هذا الوسط من العينة 2،2 فاحتمال الحصول على هذا الوسط الحسابي يساوي 116 ، أما الوسط الحسابي 2.5 فيمكن الحصول عليه من العينات 2،3 و 3،2 فاحتمال الحصول على هذا الوسط الحسابي يساوي  أي  وهكذا بقية الأوساط الحسابية الممكنة. والجدول التالي يمثل التوزيع الاحتمالي للأوساط الحسابية (2):

Image: https://www.wiley.com/en-us/Statistics%2C+11th+Edition-p-9781119254515

والمضلع التكراري لهذا التوزيع الاحتمالي كالتالي:

Image: https://www.wiley.com/en-us/Statistics%2C+11th+Edition-p-9781119254515

هل يبدو مألوفًا؟ 

ولكن عندما يكون حجم العينة كبيرًا ليس من العملي حساب كل الأوساط الحسابية الممكنة حتى باستخدام الحاسوب (2). لذلك تعد مبرهنة النهاية المركزية أحد أهم الأساسات في علم الإحصاء الحديث (1)، إذ تمكننا من معرفة شكل التوزيع الاحتمالي للأوساط الحسابية الممكنة، وبالتالي يمكننا معرفة احتمال الحصول على وسط حسابي ما من موقعه على شكل أو تمثيل التوزيع الاحتمالي (2). 

تقول مبرهنة النهاية المركزية أنه عند أخذ عينات عشوائية كبيرة كفاية مع إرجاع، من مجتمع إحصائي ذي وسط حسابي وانحراف معياري ،  فإن التوزيع الاحتمالي لأوساط هذه العينات يقترب من التوزيع الطبيعي (3). هذا صحيح بغض النظر عن نوع التوزيع الاحتمالي للمجتمع سواء كان طبيعيًا أو لا. و"عينة كبيرة كفاية" تعني أن عدد عناصر العينة أكبر من أو يساوي 30. 

بالنسبة إلى العينات العشوائية الممكنة المأخوذة من المجتمع فإن الوسط الحسابي لأوساطها الحسابية يساوي الوسط الحسابي للمجتمع  والانحراف المعياري لها يساوي  حيث n هو حجم العينة (3). المهم في هذا كله أنه يمكننا استخدام نموذج التوزيع الاحتمالي الطبيعي لتقييم اللايقين عند إجراء استدلال إحصائي عن الوسط الحسابي -المجهول عادةً- للمجتمع بناءً على الوسط الحسابي لعينةٍ ما (3). 

المصادر:
1. Kwak S,  Kim J. Central limit theorem: The cornerstone of modern statistics. Korean Journal of Anesthesiology[Internet]. 2017 April [cited 2022 Sep 30]; 70(2):144- 156. Available from: هنا
2. Witte RS, Witte JS. Statistics [Internet]. 11th ed. San Francisco: Wiley; 2017. 480 p. Available from: هنا
3. The role of probability [Internet]. Central Limit Theorem. Boston University School of Public Health; 2016 [cited 2022Dec7]. Available from: هنا

مواضيع مرتبطة إضافية

المزيد >


شارك

تفاصيل

12-12-2022
108

المساهمون في الإعداد

إعداد: Asil Yusuf
تدقيق علمي: Maissaa Markabi
تدقيق لغوي: عبد الرحمن عطية
تصميم الصورة: Sara M. Habib
نشر: Rama AlWattar

تابعنا على يوتيوب


من أعد المقال؟

Asil Yusuf
Maissaa Markabi
عبد الرحمن عطية
Sara M. Habib
Rama AlWattar

مواضيع مرتبطة

مفارقة برتراند في الاحتمالات

القليل من سيمبسون والكثير من الرياضيات!

تُحِبُّ أمواجَ البحر؟.. فاستمع لما تحدثك بهِ الرّياضيات عنها!

قواعد غروبنر و أحد تطبيقاتها في الهندسة الجبريّة

هل يمكن للرياضيات أن تحررنا من الحسد؟

امتحان البكلوريا

تنبؤات منظمة Goldman Sachs ببطل مونديال البرازيل 2014 ج2

برج... من الأسس!

الحلقة الثانية : الأسس الرياضية لفن الأوريغامي

كيف تنتشر الأفكار بين الناس من وجهة نظر الرياضيّات؟

شركاؤنا

روابط مهمة

  • الشركاء التعليميون
  • حقوق الملكية
  • أسئلة مكررة
  • ميثاق الشرف
  • سياسة الكوكيز
  • شركاؤنا
  • دليل الشراكة
جميع الحقوق محفوظة لمبادرة "الباحثون السوريون" - 2023