مفارقة مونتي هول

ما رأيكم أن نعقد صفقة؟
أظن أنَّ برنامجَ مونتي هول الترفيهي Let's Make a Deal ظهرَ في الفترة بين الستينيات والسبعينات من القرن السابق. والمعلومات عن هذا البرنامج الترفيهي بقيت -بطريقة ما- بعيدةً عن الإنترنت، ولكنَّ قاعدة هذه اللعبة الأساسية هي المتابعون، ويبدو الأمر كأنَّ المشاهدين سُذَّجٌ يتأملون أن ينتقيهم مونتي هول من بين الجمهور ويَعرض عليهم الفرصةَ لربح جائزة رائعة. فقد يعرض عليك فجأة 100 دولار لكل ورقة نقدية تحملها في جعبتك أو حتى يمكن أن يعطيك 500 دولار، ولكن؛ سيسألك حينها إذا كنت ترغب في الاحتفاظ بالمال أو أن ترى ماذا يمكن أن يحوي صندوق ما. وبالطبع يمكن أن يحوي الصندوق 1000 دولار أو قطعة من طعام كلب! وبكل الأحوال سنشرح جزءًا من هذه اللعبة على أمل أن تفهم جوهرها.
ما يهمنا الآن من اللعبة هو أنَّ مونتي هول يعرض عليك الفرصةَ لربح ما يوجد خلف واحد من ثلاثة أبواب، يوجدُ عادةً خلف أحد الأبواب جائزة رائعة فعلًا مثل السيارة، وجائزة أقل روعة خلف البابَين الآخرَين مثل الماعز، وبعد أن تختار الباب؛ سيعمد مونتي إلى فتح واحد من البابين اللذين لم تخترهما. ومن الجدير بالذكر هنا أنَّ مونتي في هذه المرحلة لا يفتح الباب الذي توجد السيارة خلفه، وفي هذه اللحظة سيسألك مجددًا إذا كنت تريد أن تُبدِّل خيارك قبل أن يكشف عمَّا خلف الباب الذي اخترته لترى ما ربحت.

الخدعة:
في أيلول (سبتمبر) عام 1991؛ طرحت الصحفية مارلين فوس سافانت في صحيفة ساندي باراد السؤال الآتي:
"افترض أنك في برنامج لعب وخُيِّرت بين الأبواب الثلاثة -خلف أحدها سيارة وخلف البقية ماعز- لتنتقي بابًا.

لنفترض أنَّك اخترت الباب الأول (ومُستضيفك الذي يعلم ماذا يوجد خلف الأبواب الأخرى يفتح بابًا آخر؛ وليكن الباب الثالث)، فماذا يحمل الباب الثاني؟ هل من مصلحتك أن تُبدِّل الباب الذي اخترته؟"
أعطيت هذه المسألة اسمَ مفارقة مونتي هول؛ بسبب برنامج مونتي هول الذي عُرضَ مدةً طويلةً على التلفاز، وبدأت المقالات عن المسألة في جريدة نيويورك تايمز وغيرها في أنحاء العالم، وكانت الإجابة عن سؤال مارلين أنه على المشترك أن يُبدِّل خياره بعد أن وصلها قرابة 10000 ردٍّ من القراء أغلبهم لا يوافقها الرأي، حتى إنَّ بعض هذه الردود جاءت من علماء ورياضيين عبَّروا عن خيبة أملهم لقلة مهارة المجتمع في التفكير الرياضي.
ويبدو لنا هذا السؤال وكأنَّه لا يحمل إجابة واضحة، لماذا اعتقد كثيرون بأنَّ مارلين مخطئة؟ لقد ظنوا جميعاً بأنَّه لا يوجد فرق إذا بدَّلت خيارك أو لم تُبدِّله، وقد يكون هذا هو سبب معارضتهم لها. إنَّ إضافة جملة واحدة إلى هذه المسألة ستغير الإجابة كاملة، وهذا ما يُفسِّر كون معظم الناس يحملون فكرة خاطئة، ولو أنَّ المستضيف لا يعلم ماذا يوجد خلف الأبواب لكان الجواب فعلًا هو أنَّه: لا يوجد فرق إذا بدلت خيارك أو لم تبدله، وهذا التغيير الطفيف في المسألة قد حوَّلها من لعبة عادية إلى مفارقة رياضية.
نبدل أو لا نبدل؟
وبالنظر إلى النتائج التي ظهرت من اللعبة تَبيَّن أنَّ ثلثي اللاعبين الذين بدَّلوا خياراتهم قد ربحوا، في حين مَن لم يبدل رَبِحَ ثلثهم فقط.

لماذا يوجد مثل هذا الاختلاف؟ أي إنَّه بعد أن يكشفَ لك مونتي هول ما خلف أحد الأبواب؛ يبقى لديك بابان والسيارة خلف أحدهما، أليست الفرصة متساوية لكلٍّ من البابين أن يُخفي خلفه السيارة؟ أليس صحيحًا؟ بالطبع لا!
لتحليل هذه المسألة؛ سنفترض السيناريو نفسه وكأنَّه يحدث في عجلة دوارة كهذه التي تظهر في الصورة، وتُظهِر الدائرة الداخلية لك أرقامَ الأبواب، والتي من المحتمل أن تكون السيارة خلف أحدها، وتفترضُ العجلة الوسطى رقمَ الباب الذي قد يختاره اللاعب، والدائرة الخارجية تعطيك احتمال الباب الذي سيظهره مونتي هول في هذه الحالة.



بتدوير العجلة مرة واحدة تكون الفرصةُ متساوية لكل الاحتمالات، فالدائرة الخارجية أيضًا تُوضح لك ما الطريقة التي يجب عليك أن تتَّبعها لتربح، ويعني اللون الأحمر في العجلة أنَّ اللاعب عليه أن يُبدِّل خياره حتى يربح، ويعني الأزرق أنَّه يجب ألا يفعل ذلك؛ وبهذا نلاحظ أنَّ كمية اللون الأحمر تُعادل ضعفي اللون الأزرق، وبمعنى آخر: إذا بدلت خيارك ستكون فرصتك في الربح أكبر فيما لو أنَّك لن تبدل! وما يجعل افتراض هذه العجلة صحيحًا هو أنَّ اللاعب في 1\3 من الحالات فقط يكون محظوظًا باختيار الباب الصحيح منذ البداية دون أن يُبدل، أما في الـ 2\3 من الحالات الأخرى فإنَّ مونتي هول يُخبرك عن مكان السيارة دون أن تعلم!
إذًا؛ كيف كانت ستتغير هذه المسألة لو أنَّ مونتي لم يعلم عن مكان السيارة؟ علينا في هذه الحالة أنَّ نحسب حساب أنَّ مونتي قد يفتح الباب الذي يخفي خلفه السيارة بالصدفة؛ لذلك فإنَّ مسألة اللعبة تفرض على مونتي أن يفتح باب الماعز وإلا تنتهي اللعبة ويصبح دور المتسابق التالي.
وفي حال لم يعلم مونتي عن مكان السيارة سيكون افتراض اللعبة يُشبه هذه العجلة؛ فالدائرة الداخلية تُمثِّل البابَ الذي توجد خلفه السيارة، والدائرة الوسطى تمثل الباب الذي يختاره اللاعب عشوائيًّا، والدائرة الخارجية تُظهِر الباب الذي سيفتحه مونتي للاعب. ونلاحظ في هذه المرة أنَّ خيارات مونتي تغيرت؛ لأنَّنا سنحسب احتمال أنَّ مونتي قد يفتح الباب الرابح بالصدفة، وقد لا يفعل ذلك، فهنا سيعتمد ذلك على الصدفة، وبتدويرِ العجلة تكون الاحتمالات متكافئة لكلٍّ من الحالات إلا في حال ظهور اللون الأسود؛ لأنَّ ذلك يعني أنَّ مونتي قد كشف السيارة، وأنَّ اللعبة انتهت وعلينا البَدء من جديد.

مرة أخرى؛ اللون الأحمر يعني أنَّ كي يربح اللاعب عليه أن يبدل اختياره، والأزرق يعني أنَّه لا يحتاج إلى التبديل حتى يربح، ونلاحظ أنَّ عدد المربعات الزرق والحمر متساوٍ؛ ممَّا يعني أنَّه لا يوجد فرق إذا بدَّل اللاعب خياره في هذه الحالة أو لم يفعل.



كانت الضجة التي سببتها هذه المفارقة في الأوساط الإعلامية والعلمية سببَ بداية عهد جديد لعلم الاحتمالات، أو على الأقل؛ طريقة تفكير الناس وأساليب تعلمهم هذا العلم، عدا عن ذكر أنها سببت شكًّا كبيرًا في علم الاحتمالات وصحته في بادئ الأمر!
والسؤال الأخير موجه إليك عزيزي القارئ: هل ستغير الباب؟

المصدر: 
هنا