Riemann Hypothesis

جذبت ّفرضية ريمان الكثير من الانتباه منذ الإعلان عن الجائزة حيث تم تأليف العديد من المؤلفات حول الموضوع.
لكن بخلاف مبرهنة فيرما الأخيرة* لم يحصل أي تطورات مثيرة بها، إلا أنّ ذلك لا يعني أنها تراوح مكانها.

تعرف دالة زيتا لريمان بالشكل الآتي:


Image: 1

وهو السلسلة الهارمونية** من أجل z=1 ومجموع القوى البديل (السالب) إذا كانت z أي عدد صحيح موجب.
يمكن توسعة الدالة إلى كامل المستوي العقدي (مع بعض الأقطاب) من خلال عملية تدعى "التمديد التحليلي: تقنية رياضية تستخدم لتمديد مجال دالة تحليلية ما".
وتكون قيمة الدالة صفراً عند الأعداد الزوجية السالبة بشكل واضح، لكن أين تكون الحلول الصفرية الأخرى؟
حتى الآن، جميع الحلول الصفرية المعروفة تقع على الخط ذي القسم الحقيقي ½ في المستوي العقدي، وتم التحقق من ذلك من أجل عدة ملايين من الحلول الصفرية!

ومع ذلك، لا يعلم أحد إذ ما كانت جميع الحلول الصفرية غير البديهية تقع على هذا الخط، إلا أنّ فرضية ريمان تنص على أنها تقع على هذا الخط، وهذا ما نبحث لبرهان عنه
العديد من المسائل في نظرية الأعداد، كالمسائل التي تتعلق بتوزع الأعداد الأولية، تتعلق بشكل أو بآخر بفرضية ريمان، لذا يُعتَقد أن البرهان على صحة هذه الفرضية يعطينا الكثير من المعلومات حول المسائل الأخرى.

فعلى سبيل المثال، تعطي "نظرية العدد الأولي" *** تقريباً جيداً عن كمية الأعداد الأولية الموجودة الأصغر من عددٍ معطى، لكن فرضية ريمان تتعلق بالتكهن بصحة ذلك التقريب.
ويمكن التأكد من علاقة الأعداد الأولية بدوال زيتا بالاطلاع على مطابقة أولر.
كما أنّ إحدى العلاقات التي يبحث بها الرياضيون هي تماثل الفراغات بين أصفار دالة زيتا لريمان و القيم الذاتية للمصفوفات الواحدية العشوائية.

تعريفاً، تنص الفرضية على أنه من أجل R>1 يعرف تابع زيتا بالشكل:


Image: 1
ويكون الحاصل على الأعداد الأولية.

أظهر ريمان كيفية استمرار زيتا تحليليّاً في s وكتب هذه المعادلة الدالية

Image: 1

حيث Γهي دالة غاما.
وتنص فرضية ريمان على أن جميع أصفار التابع Λ(s) تتوضع على خط التناظر للمعادلة الدالية:
R(s)=1/2.

هذه الحدسية هي مثالٌ عن الحدسية الجيدة بأناقتها وهشاشتها وقابليتها للدحض.
وأكثر من ذلك، تعميمها على دوال زيتا الأخرى يحمل تبعات كبيرة تزيد من أهمية هذا الحدس، أضف إلى ذلك أن هذه المسألة استعصت على ألمع الرياضيين حول العالم منذ طرحها حتى الآن، بالإضافة إلى تخصيص جائزة مالية للبرهان على صحتها مؤخراً، مما أكسبها شهرة إضافية.

وصف المشكلة:

تمتلك بعض الأعداد خواصاً فريدة كعدم إمكانية كتابتها على شكل جداء عددين أبسط، مثل: 2، 3، 5، 7، وغيرها. تدعى هذه الأعداد أعداداً أولية Primes. وتلعب هذه الأعداد دوراً هاماً في الرياضيات النظرية والتطبيقية.
إن توزع هذه الأعداد ضمن الأعداد الطبيعية لا يتبع نمطاً واضحاً، إلاّ أن الرياضي الألماني المعروف ريمان Riemann لاحظ أن تواتر الأعداد الأولية يشابه تصرف الدالة:


Image: 1

وتسمى دالة زيتا لريمان. وتنص فرضية ريمان على أن جميع الحلول المثيرة للانتباه للمعادلة ζ(s)=0 تقع على خط مستقيم عمودي.

دالة زيتا لريمان هي تابع لمتحول عقدي s، معرف على نصف المستوي R(s)>1 بالمتسلسلة المتقاربة مطلقاً:


Image: 1

وعلى كامل المستوي العقدي C بتمديد تحليلي analytic continuation. ، وكما أظهر ريمان، توسع الدالة زيتا إلى C كدالة ميرومورفية Meromorphic **** مع قطب بسيط واحد في s=1، مع باقي 1، وتحقق المعادلة الدالية:


Image: 1

وفي عام 1859 نشر ريمان ورقة حصل فيها على معادلة تحليلية لعدد من الأعداد الأولية إلى حد معرف. يعبر عن هذه المعادلة بدلالة أصفار دالة زيتا، أي الحلول العقدية ρ∈C للمعادلة ζ(ρ)=0.
في تلك الورقة، قدم ريمان دالة بمتحول عقدي t معرفة بالشكل التالي:


Image: 1

حيث s=1/2+it، وتظهر أن ζ(t) هو تابع زوجي بأصفار لها جزء تخيلي بين –i/2 و i/2

وقد تم التأكد من صحة هذه الفرضية لأول 10 مليارات حل، إلا أنه لا يوجد برهان عام لهذه الفرضية. ووجود برهان صحيح لكل حل مثير للانتباه للمعادلة سيكشف معلومات هامة جداً حول توزع الأعداد الأولية.

في عالم 1885 ادعى Stieltjes أنه قام ببرهان حدسية ميرتينز Mertens conjecture (والتي تنص على أن القيمة المطلقة لدالة ميرتينز
Image: 1 اصغر من الجذر المربع ل n )
عندما تكون 1= c وهي نتيجة أقوى من فرضية ريمان، إلا أنه لم يتم العثور على هذا البرهان بعد وفاة Stieltjes. وقم تم البرهان على عدم صحة حدسية ميرتينز ليتم دحض هذا الادعاء كلياً.

تم إثبات صحة فرضية ريمان حسابياً من أجل أول 200000001 صفر وذلك من قبل برينت Brent وآخرون في عام 1982. استخدم Wedeniwski شبكة زيتا ZetaGrid لبرهان صحة الفرضية من أجل أول ترليون صفر.
وفي عام 2004 استخدم جوردان Gourdon طريقة أودليزكو وشونهاج Odlyzko and Schoenhage الأسرع من أجل التأكد من صحة الفرضية لأجل أول عشر تريليونات صفر للتابع زيتا.

يظهر الجدول التالي النتائج (المصدر من wolfram):


Image: 1

وتعادل فرضية ريمان القول بأن كل أصفار تابع إيتا لديريخليه (أو تابع زيتا المتناوب) الواقعة على الشريط
Image: 1 تقع على الخط
Image: 1 :


Image: 1

أظهر وينير Wiener أن نظرية العدد الأول تعادل الادعاء أن تابع لريمان لايملك حلولاً صفرية عندما تكون.

في عام 1914 برهن هاردي Hardy أنه يمكن الحصول على عدد لانهائي من قيم s من أجل
Image: 1 و
Image: 1 .

فلتنطلقوا أعزائنا بالبحث عن حل لللفرضية..ولكن يجب أن نخبركم أولاً أن إثبات خطأ الفرضية عن طريق الاستعانة بالحواسيب لا يستوفي الجائزة.

* تنص مبرهنة فيرما الاخيرة على أنه لا يوجد أعداد صحيحة x ، y ، z تحقق:

Image: 1
حيث n أكبر تماماً من 2 و x ، y ، z لا تساوي الصفر

** السلسلة الهارمونية:

Image: 1

*** نظرية العدد الأولي هي نظرية تعطي شكلا تقريبباً لحلول الدالة المعدة للاعداد الأولية:
Image: 1 حيث:
(ثابت ليجندر) B=-1.08366

**** الدالة الميرومورفية هي دالة تحليلية لكل نقطة من مجالها ثمة حل وحيد. ولها الشكل:
Image: 1 حيث g(z) ، h(z) دوال و h(z) لا تساوي الصفر.

المصادر:

هنا

هنا

هنا

هنا

هنا

هنا

هنا

هنا

هنا

هنا

هنا