دوال فايرشتراس هي صنف من الدوال الحقيقية يشتهر بأنه مستمر في كل مكان، وغير قابل للاشتقاق في أي مكان، ويشترك مع الكسيريات (Fractals) (من الهندسة الكسيرية هنا ) بخاصية التشابه الذاتي، حيث كل جزء منها يشابه أصله.
كان يُعتقد سابقاً أن التوابع المستمرة هي توابع قابلة للاشتقاق عند جميع النقاط باستثناء مجموعة من النقاط المنعزلة، فأهمية توابع فايرشتراس تنبع من كونها مثال معاكس لهذا الاعتقاد.
نذكر كمثال عن دوال فايرشتراس:


Image: syr-res

من السهل إثبات أن هذه السلسلة متقاربة لكل قيم x وهي متقاربة مطلقاً. ويمكن إثبات أن الدالة مستمرة في كل مكان، لكنها غير قابلة للاشتقاق في أي مكان مهما كانت قيمة x.
وفيما يلي رسم توضيحي للدالة، وهي دورية ودورها :π2


Image: syr-res

كما نلاحظ مخطط الدالة متعرج جداً لدرجة أنها غير قابلة للاشتقاق في أي مكان.
في الأسفل يوجد صورة متحركة توضح التدرجات على الدالة أثناء التكبير عند x=1. كما نلاحظ أن المخطط لا يصبح خطياً أو ناعماً مع التكبير كما يكون في حالة الدالة القابلة للاشتقاق. يرجى الانتباه في
المقطع الأخير في الصورة إلى أن النعومة التي ظهرت ليست حقيقة وإنما بسبب محدودية القدرات الحاسوبية في البرنامج المستخدم لتوليد هذه الصورة المتحركة، لكن نظرياً حتى لو كبرنا الرسم إلى اللانهاية لن يصبح أملساً أو خطياً.


Image: syr-res

مثال آخر عن دالة فايرشتراس، هذه الدالة الباثولوجية، والباثولوجية pathological هو مصطلح رياضي يشير إلى الأمثلة المصممة خصيصاً لخرق خواص رياضية صحيحة بشكل عام - كالاستمرار مع عدم قابلية الاشتقاق في حالة دوال فايرشتراس- :


Image: syr-res


Image: syr-res

يظهر الرسم مخططات الدالة في حالة a=2 (أحمر) و 3 (أخضر) و 4 (أزرق)
وهذه الدالة مستمرة أيضاً لكنها غير قابلة للاشتقاق إلا على مجموعة من النقاط وقياس* هذه المجموعة صفر

* تعنى نظرية القياس في التحليل الرياضي بتعميم مفهوم الطول والمساحة والحجم على المجموعات الجزئية ضمن المجموعات، حيث يصبح لهذه المجموعة رقم يعبر عن قياسها.

المصادر:
1- هنا

2- هنا

3- هنا

4- هنا