هل حقا 0.999=1 ؟
الرياضيات >>>> الرياضيات
Image: SYR-RES
0.999 =1
ويُشيرُ الخطُّ فوقَ العدد 9 هنا إلى أنَّ تكرارَ هذا العددِ لانهائيٌّ.
ولعل أستاذَكَ في الرّياضيات قدَّمَ لكَ براهينَ على صحَّتِها لكنكَ لم تقتنع!
هل فعلًا ...0.999 = 1 أم أنَّ ...0.999 تظلُّ أصغرَ من 1 ولو تكرَّرَ الرَّقمُ 9 عدّداً لانهائيًّا من المرّات؟
إليكَ ثلاثة براهينَ لإثباتِ أنَّ 1 وَ ...0.999 هما نفس العدد:
البرهان 1:
نعلم جميعًا أنَّ:
...0.333 = (1/3)
بضربِ طرفي المساواةِ الأخيرةِ بالرَّقم 3 نحصل على :
...0.333 × 3 = (1/3) × 3
بالتّالي:
1=...0.999
نفسُ المبدأ يمكنُ تطبيقه على المساواةِ:
...0.111 = 1/9
فنضرب طرفيها بالرَّقم 9 وَتكونُ النّتيجة
...0.999 = 1
البرهان 2:
نعطي لـِ u القيمة ...0.999 أي لنفترض أنَّ:
...u = 0.999
نضرب طَرفي المساواةِ الأخيرةِ بالرّقم 10، (ضربُ عددٍ عشريٍّ بالرّقم 10 يتمُّ بإزاحةِ الفاصلةِ رقمًا واحدًا إلى اليمين) فنجد:
...10u = 9.999
وَبِطرح العلاقَتين الأخيرتين من بعضهما نجد:
...10u - u = 9.999... -0.999
فنحصلَ على:
9u = 9
ومنه:
u = 9/9 = 1
u مساوٍ لـِ 1 وَ لـِ ...0.999 في الوقت ذاته ما يعني أنَّها العدد نفسه.
البرهان 3 :
سنستخدم هنا تقنيّة نقض الفَرَض (Proof by contradiction)، وهو نمطُ برهانٍ رياضيٍّ يعتمدُ على وضعِ فرضيّةٍ وَدراسةِ النّتائجِ الّتي ستُسفرُ عنها الفرضيّة، بحثاً عن تناقض يجعلنا نتخلّى عن افتراضنا
سنفترض هنا أن :
...0.999<1
ثمَّةَ خاصيّةٌ تُميّزُ الأعدادَ الحقيقيّةَ تُسمّى خاصيّةُ أرخَميدِس، وتقول بأنَّ بينَ كلِّ عددين حقيقيّين مختلفين يوجد عددٌ ثالثٌ، هذا العددُ قد يكون هو معدّلهما (متوسِّطُهما الحسابيّ).
لنثبتَ إذن أنَّ 1 وَ ...0.999 مختلفين يجب إثبات أنَّ لهما معدّلاً أو وسطاً حسابيّاً m
وَينبغي أن يكونَ هذا المعدَّلُ أصغرُ تماماً من 1 وَأكبرُ تماماً من ...0.999.
بما أنَّ :
m أكبر من 0.9
فإنَّ الكتابة العشريّة لـ m ستبدأُ حتماً بـِ 0.9.
m هو أكبرُ أيضًا من 0.99، إذن فكتابته العشريّةُ تبدأُ بـ 0.99
m أكبرُ من( 0.999)
بالاستمرارِ على هذا النَّحوِ سنخلُصُ إلى أنَّ m هو بالضَّرورةِ العدد ...0.999.
هنا نقعُ في التّناقضِ، لأنَّ مُعدَلَ العددينِ ينبغي أن يُخالِفهما، ممّا يدفعنا للقولِ بأنَّ افتراضنا خاطئٌ، ولأنَّه لا يمكنُ أن تكونَ ...0.999 أكبرُ من 1 فإن العددين الأخيرَينِ متساويانِ بالضَّرورةِ.
أعلم! لازلتَ غيرَ مقتنعٍ، ولستَ الوحيد، فأغلب الطُّلّابِ يُبدُونَ شكًّا تِجاهَ هذهِ المساواة رغمَ البراهينِ الّتي يُقدِّمها أساتذة الرّياضيات على صحَّتِها.
يبدو الأمر غريبًا لانَّنا اعتدنا على الاعتقادِ بأنَّ لكُلِّ عددٍ كتابةٌ عشريّةٌ وحيدةٌ، وهذه المساواة تثبِتُ لنا بأنَّ هذا الاعتقادُ خاطئٌ فمثلًا 50.1298 يمكنُ أن تكونَ له كتابةٌ عشريّةٌ أخرى هي ...50.1297999999 وصعوبةُ استيعابِ تخيُّلِ أنَّ 9 يتكرَّرُ بصفةٍ لانهائيّةٍ وليسَ فقط عدَّةَ مرّاتٍ، يجعلُ الأغلبيّةَ غيرَ مُتقبِّلينَ للمساواةِ، لأنَّهم يعتبرون تكرارَ الرّقم 9 عمليّةً ستتوقّفُ يومًا ما.
إذا تحدّثنا بمنطقِ التّحليلِ اللّاقياسيِّ وهو فرعٌ في التّحليلِ الرّياضيِّ (Mathematical analysis) يهتمُّ بدراسةِ العناصرِ المتناهيةِ في الصِّغَر، يُمكنُ أن نفهمَ لماذا يُصِّرُّ البعضُ على كتابةِ ...0.999+...0.1111 = 1
سيجعلُنا هذا نعيدُ التّفكيرَ في إمكانيّةِ وجودِ عددٍ غيرِ منعدِم متناهٍ في الصِّغَر، يكونُ أصغرَ من كلِّ عددٍ حقيقيٍّ موجبٍ ويُخالِفُ الصِّفْرَ في آنٍ واحدٍ ليكونَ هو الفرقُ بينَ 1 وَ ...0.999، في هذه الحالة سيكونُ التّصديقُ بأنَّ 1=...0.999 أقلَّ تعقيدًا وإرباكًا.
المصادر:
