أثبت علماء الرياضيات في جامعة رودن لأول مرة مبرهنة الوجود والوحدانية لحلول معادلة زاخاروف-كوزنيتسوف Zakharov-Kuznetsov في شريط. ومثل هذه المبرهنات نادر جدًّا بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية.
يمكن تطبيق النتائج الجديدة في مجالات أخرى كالفيزياء الفلكية، مثلًا في وصف انتشار الموجات المستوية في البلازما.
ومعادلة زاخاروف-كوزنيتسوف هي معادلة بدالة واحدة لمتغيرين x,y ، فيزيائيًّا x يمثل اتجاه انتشار الموجة، بينما تمثل y اتجاه تشوه الوسط وهي عمودية بشكل دائم على x.
على سبيل المثال: في حالة العزف على الجيتار تظهر الموجة مطاردة الأوتار، بينما تقع التذبذبات عموديًّا على اتجاه انتشار الموجة.
يوجد عدد كبير من النتائج التي تصف حلولًا لمعادلات زاخاروف-كوزنيتسوف في حال عدم وجود قيود على المتغير y، ولكن في حالة انتشار الموجة داخل شريط - في حالة y محدودة - فإنها لم تدرس على نحو مكثف إلا مؤخرًا.
درس علماء الرياضيات في جامعة رودن معادلة زاخاروف-كوزنيتسوف في شريط. وقد اختبروا ثلاث حالات رئيسية: في حالة عدم وجود تذبذب على حدود الشريط، وحالة عدم وجود تيار (تدفق) على ذات الحدود، والحالة التي تكون فيها الشروط الحدية دورية في البنية. وتحدث الحالة الأخيرة عندما تنتشر الأمواج في وسط بنيته دورية في x.
أثبت علماء الرياضيات في كل من هذه الحالات الثلاث مبرهنات الوجود والوحدانية لحلولهم؛ فمنظومة من المعادلات التفاضلية الجزئية، التي تتضمن معادلة زاخاروف-كوزنيتسوف، هي منظومة نادرة جدًّا من المعادلات.
هذه النتائج هي الأولى لحلول المعادلة تحت شروط ابتدائية في الشريط. وبالنسبة للبلازما المسطحة فإنها تتدفق بشروط حدية، والتي كانت من ضمن الظواهر المدروسة من قبل علماء جامعة رودن، ويمكن أن تحدث في الفيزياء والفيزياء الفلكية.
تنتمي معادلات زاخاروف-كوزنيتسوف إلى فئة أوسع من المعادلات المعروفة باسم معادلات كورتيويغ دي فريس Korteweg-de Vries، وفي دراسة هذه الفئة من المعادلات، أصبح من الممكن الآن وصف حلول - موجات لا يتغير شكلها في أثناء الحركة. وينظر الفيزيائيون إلى الحلول كأداة لأنظمة نقل البيانات البصرية الحديثة، والتي يمكن أن تنتهي إلى معادلات زاخاروف-كوزنيتسوف، وهي واحدة من الخيارات لتطوير العمل الذي أدَّاه علماء الرياضيات في جامعة رودن.

مصدر المقال:
هنا