استقرار حلول معادلةٍ تفاضلية
الرياضيات >>>> الرياضيات
Image: SYR-RES
فالاستقرار كانَ ولا زال هو السؤالُ الأول في نظرية النُظم الديناميكية؛ إذ أُجريت دراسة الاستقرار للمرّة الأولى في علم الميكانيك، وذلك بسبب الحاجة الماسّة لدراسة توازنِ نظام ما، وأثارت أسئلةُ الاستقرار دوافعَ إدخال مفاهيمَ رياضيةٍ جديدة في الهندسة وخاصةً هندسة التحكّم.
كانت نظرية الاستقرار ذات أهميّة كبيرة لعلماء الرياضيات والفلكيين لمدّةٍ طويلة، وكان لها تأثيرٌ محفِّزٌ في هذه المجالات؛ إذ كانت البداية في المسألة المتمثّلة في محاولة إثبات أنّ النظام الشمسيّ مستقر، ولاتزال مسألة تحليل استقرار المعادلات التفاضليّة تجذب انتباه العديد من المتخصصين على الرغم من تاريخها الطويل، لذلك أصبحت نظرية الاستقرار في العصر الحديث تُستخدم على نحوٍ واسع في علوم الفيزياء والفلك والكيمياء وحتى في علم الأحياء، ومن أهم استخداماتها في التكنولوجيا ( السفن – الطائرات – الصواريخ – المولدات) (1).
وفي عام 1892؛ نشر العالم الروسي "ليبانوف" (Alexander Lyapunov) أطروحة الدكتوراه خاصته بعنوان: المسألة العامة لاستقرار الحركة "The General Proplem of Motion Stability " التي تضمّنت العديد من الأفكار المثمَّرة، والنتائج الهامة.
وبهذه النتائج أصبح من الممكن تقسيم تاريخ الاستقرار إلى فترتين الأولى ما قبل "ليبانوف" والثانية ما بعده؛ إذ قدّم "ليبانوف" تعريفًا دقيقًا لاستقرار الحركة، فضلًا عن تقديمه الطريقتين الأساسيتين لتحليل مسائل الاستقرار وهما:
1. طريقة "ليبانوف" غير المباشرة “Indirect Lyapunov Method “
وتُعرف أيضًا طريقة "ليبانوف الأولى" “First Lyapunov Method “، والتي تنطوي على استخلاص خصائص الاستقرار لتوازنِ نظامٍ موصوفٍ بمعادلةٍ غير خطية من خصائص استقرار خطيتها (تحويلها لمعادلة خطية ) .
2. طريقة "ليبانوف" المباشرة “Direct Lyapunov Method “
وتعرف أيضًا بطريقة "ليبانوف الثانية" “Second Lyapunov Method “، والتي تنطوي على وجود دوالَّ مساعدة تسمّى بـ "دوالِّ ليبانوف" وهي تساعد بالتأكُّدِ من خصائص الاستقرار لنقطة التوازن.
في عمل "ليبانوف" الرائد منذ أكثرَ من 100 سنة كانت طريقة "ليبانوف" المباشرة هي الأداة الأساسية للتعامل مع مسائل الاستقرار في مختلف أنواع معادلات النموذج الديناميكي، وهي معروفة بكفاءتها وبساطتها (2).
أمّا في فترة ما بعد "ليبانوف"؛ فقد تطورت نظرية الاستقرار في مجالاتٍ عديدة، ووُضعت بعض الطرائق الأُخْرَى لتحليل الاستقرار لمعالجة هذه الصعوبات؛ إذ ظهرَ في الآونة الأخيرة أنَّ نظرية النقطة الثابتة تؤدي دورًا هامًا، وتشكِّلُ أداةً قويةً لدراسة استقرار المعادلات التفاضليّة الداليّة (3-4).
فنظرية النقطة الثابتة لها تاريخ طويل من خلال استخدامها في المعادلات التفاضليّة غير الخطيّة، وذلك عن طريق إثبات الوجود والوحدانية وغيرها من الخصائص النوعيّة للحلول.
مبرهنة النقطة الثابتة ليست مبرهنةً وحيدة، لكنها تنتمي إلى عائلةٍ كبيرة من مبرهنات النقطة الثابتة والتي تتعلق بميادينَ رياضيّةٍ مختلفة.
وتركّزت جهود الباحثين على عدة مبرهنات من هذه العائلة لدراسة معايير الاستقرار للمعادلات التفاضليّة الداليّة منها (5-6):
1. مبرهنة النقطة الثابتة لـ "باناخ" ( مبرهنة التقليص) "Banach fixed point theorem".
2. مبرهنة "شاودر" للنقطة الثابتة "Schauder fixed point theorem" .
3. مبرهنة "كراسنوسيلسكي" للنقطة الثابتة "Krasnoselskii fixed point theorem".
التطور التاريخي للاستقرار:
تاريخيًا؛ يمكن إرجاع بدايات دراسة الاستقرار إلى أعمال "أرسطو" و "أرخميدس"؛ إذ يمكن تصنّيف ثلاث طرائقَ لدراسةِ الاستقرار(7):
1. الطريقة الأولى : تُسمّى الأسلوب الحركي، وترتبط باسم "أرسطو"، وتُدرَسُ فيها الحركة التي تحدث بعد الاضطراب، ويُحدد الاستقرار لحالة عدم الاضطراب من مسار تلك الحركة .
2. الطريقة الثانية: تُسمّى الأسلوب الهندسي، وترتبط باسم "أرخميدس"، ويُستخدم فيها الوضع الهندسي للنظام بعد الاضطراب لتحديد استقرار النظام غير المضطرب .
3. الطريقة الثالثة: طريقة الطاقة، وتُستخدم هنا معايير الطاقة لتحديد استقرار وضع التوازن .
أنواع الاستقرار
من الأنواع المختلفة لاستقرار "ليبانوف" التي نُظر فيها في الأبحاث هي(2):
1. الاستقرار
2. الاستقرار المنتظم
3. الاستقرار المقارب
4. الاستقرار المقارب المنتظم
5. الاستقرار الأسي
6. الاستقرار المقارب بحجم كبير
7. الاستقرار الأسي بحجم كبير
8. عدم الاستقرار
9. عدم الاستقرار التام
ومن أنواع استقرار "لاغرانج" الأكثرِ أهميّةً هي:
1. المحدودية
2. المحدودية المنتظمة
3. المحدودية المطلقة المنتظمة للحركة
إذ أنّ هذه الأنواع تدرسُ الاستقرار لنقطة التوازن .
تعريف
قال عن النقطة إنّها نقطة توازن للمعادلة التفاضلية
إذا كان
لأجل كلّ قيم
(8)
تعريف الاستقرار
بفرض لدينا عملية ديناميكية موصوفة بواسطة معادلة تفاضلية بالشكل التالي
يقال إنَّ الحل الصفري x=0 الذي يمثل نقطة توازن للمعادلة (1) مستقر(بمعنى ليبانوف) إذا تحقّق الشرط التالي :
وفيما عدا ذلك يقال إن الحل غير مستقر حيث هي الدالة الابتدائية للدالة
عند نقطة البدء
(8).
وتعريف "ليبانوف" للاستقرار يعني أن الحلول التي تبدأ في كرة مركزها o ونصف قطرها لا تغادر الكرة التي مركزها o ونصف قطرها
.
المصادر:
2- Michel , Anthony N . Hou, Ling . Liu, Derong. Stability Of Dynamical Systems: On The Role Of Monotonic And Non-Monotonic Lyapunov Functions . Switzerland. Springer. P : 653.(2015)
3- Kolmanovskii ,V,B . And Nosov,V,R .Stability Of Functional Differential Equations . New York : Academic Press. (1986)
4- Dibl´Ik , Josef. Special Aspects To Functional Differential Equations .P : 128. .( 2005)
5- Khamsi ,Mohamed . Kirk, William. An Introduction To Metric Spaces And Fixed Point Theory. Canada. Wiley .P:302. .(2001)
6- Dshalalow ,J.H . Martynyuk , A . Personage In Science Professor Theodore A. Burton . Nonlinear Dynamics And Systems Theory.( 2012).
7- Leipholz , Horst Stability Theory An Introduction To The Stability Of Dynamic Systems And Rigid Bodies . Springer Fachmedien Wiesbaden .(1987).
8- Kurzhansk , Alexander B . And Sivergina , Irina F. Stability Concepts . Control Systems, Robotics, And Automation – Vol. I.(1998)
