هل يوجد مميز لمعادلة من الدرجة الخامسة؟
الرياضيات >>>> رياضيات في دقيقة
Image: https://www.facebook.com/smathematique/posts/1587129638041103/
علمًا بأنَّ درجة المعادلة هي قيمة أكبر قوة في كثير الحدود، فعلى سبيل المثال معادلة من الدرجة الثالثة تُكتب على الصورة:
لقد حاول كثيرٌ من العلماء الإجابة عن هذا السؤال ومنهم تشيرنهاوس (Tschirnhaus) الذي ادَّعى حلها وجاء بعد ذلك لايبنتز (Leibniz) وبيَّن خطأ برهان تشيرنهاوس، وكذلك حاول أويلر (Euler) وفشل في الإجابة عن هذا السؤال.
و في عام 1770 جمع لاغرانج (Lagrange) كلَّ الحيل الرياضية التي استُخدمت لحل المعادلات من الدرجة الرابعة وما دونها، وبيَّن أنها لا تصلح لحل المعادلة من الدرجة الخامسة (1).
و توِّجت المحاولات بنظرية أبيل - روفيني (2) بأنه لا يمكن إيجاد مميز لهذه المعادلة، وبرهن إيفاريست غالوا (Evariste Galois) بعد ذلك أنه لا يمكن إيجاد جذور للمعادلة إلا بتحقيق شروط خاصة؛ وذلك عندما تحقق المعادلة زمرة غالوا.
و يُعدُّ هذا البرهان هو النعش الأخير لمحاولة العلماء إيجاد مميز لهذه المعادلة بعدما وجد العالم نيكولو فونتان (Niccolo Fontan) مميز لمعادلة من الدرجة الثالثة، والعالم لودوفيك فيراري (ludovic Ferrari) مميز لمعادلة الدرجة الرابعة (3). (للاطّلاع على حل المعادلة من الدرجة الثالثة والرابعة من الرابط هنا)
وللاستعاضة عن عدم وجود مميز للمعادلات من الدرجات العليا (الخامسة وما فوق)؛ استُخدم علم في الرياضيات يسمى بالهندسة الجبرية التي تدرس حلول كثيرات الحدود بالاعتماد على الخواص الجبرية للمعادلات والجبر التجريدي.
لذا ننصحك بعدم المحاولة لإيجاد مميز لمعادلة من الدرجة الخامسة فما فوق لأنه بكل بساطة برهن العلماء على استحالة ذلك.
المصادر:
2. Żołądek H. The topological proof of Abel-Ruffini theorem. Topological Methods in Nonlinear Analysis [Internet]. 2000 [cited 8 February 2021];16(2):253-265. Available from: هنا
3. Schlager N, Lauer J., Science and its times volume 3 (1450-1699), Gale Group Publishes, 2000.
